MECÂNICA GRACELI GENERL. - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RRELATIVISTA DE CAMPOS [844]

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A quantização de Landau na mecânica quântica é a quantização das órbitas cíclotron de partículas carregadas em campos magnéticos. Como resultado, as partículas carregadas somente podem ocupar órbitas com valores de energia discretos, denominados níveis de Landau.^[1] Os níveis de Landau são degenerados, com o número de elétrons por nível diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado. A quantização de Landau é diretamente responsável por oscilações nas propriedades eletrônicas de materiais em função do campo magnético aplicado. Esta quantização leva o nome do o físico soviético Lev Landau.^[2]

Dedução[editar | editar código-fonte]

Considere um sistema em duas dimensões de partículas não-interagentes com carga $q$ e spin $S$ confinadas em uma área $A = L x L y$ no plano $xy$ .

Aplica-se um campo magnético uniforme $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ ao longo do eixo $z$ . Em unidades CGS, o hamiltoniano do sistema é

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.

/

\psi ^{*}

Aqui p̂ é o operador momento canônico e Â é o potencial vetor eletromagnético, o qual é relacionado ao campo magnético por

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,

/

\psi ^{*}

Existe uma liberdade na escolha do calibre para o potencial vetor para um dado campo magnético. O hamiltoniano é invariante sob o calibre, o que significa que a adição do gradiente de um campo escalar ao A altera a fase global da função de onda por um valor correspondente ao campo escalar. Porém as propriedades físicas não são influenciadas pela escolha específica do calibre. Para simplificar os cálculos, vamos adotar o calibre de Landau, o qual diz que

{\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.

/

\psi ^{*}

onde $B$ =|B| e x̂ é a componente $x$ do operador posição.

Neste calibre, o hamiltoniano passa a ser escrito como

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.

/

\psi ^{*}

O operador ${\hat {p}}_{y}$ comuta com este hamiltoniano, desde que o operador ŷ desaparece após a escolha do calibre. Então o operador ${\hat {p}}_{y}$ pode ser substituído pelo seu autovalor $hk y$ .

O hamiltoniano também pode ser escrito em uma maneira mais simples após notar que a frequência de cíclotron é $ω c = qB/mc$ , assim

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.

/

\psi ^{*}

Este é exatamente o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, exceto com o mínimo do potencial deslocado na coordenada espacial por

$x 0 = hk y /m? c$ .

Para encontrar as energias, note que ao transladar o potencial do oscilador harmônico as energias não são alteradas. As energias do sistema são idênticas aquelas padrão do oscilador harmônico quântico,

E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.

/

\psi ^{*}

A energia não depende do número quântico $k y$ , então haverá degenerescência.

Para as funções de ondas, recordamos que ${\hat {p}}_{y}$ comuta com o hamiltoniano. Então a função de onda é dada pelo produto entre os autoestados do momento na direção $y$ e os autoestados do oscilador harmônico $|\phi _{n}\rangle$ deslocados por um fator $x$ ₀ na direção $x$ :

\Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.

/

\psi ^{*}

Em suma, o estado do elétron é caracterizado por dois números quânticos, $n$ e $k y$ .

Níveis de Landau[editar | editar código-fonte]

Cada conjunto de funções de onda com o mesmo valor de $n$ é chamado de nível de Landau. Efeitos dos níveis de Landau são observados somente quando a energia térmica média é menor do que a separação entre os níveis de Landau, $kT ≪ ħω c$ , o que significa que o sistema tem que estar definido a baixas temperaturas e campos magnéticos intensos. Cada nível de Landau é degenerado devido ao segundo número quântico $k y$ , o qual pode assumir valores

k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}

/

\psi ^{*}

onde $N$ é um inteiro. Os valores permitidos para $N$ são restritos pela condição de que o centro da força do oscilador, $x 0$ , deve fisicamente ser definida dentro do sistema . Isto leva ao seguinte alcance para $N$ ,

0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.

/

\psi ^{*}

Para partículas com carga $q = Ze$ , o limite superior de $N$ pode ser escrito de maneira mais simples como razão dos fluxos magnéticos,

{\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},

/

\psi ^{*}

onde $F 0 = h/2e$ o fluxo magnético quântico fundamental e $F = BA$ é o fluxo através do sistema (com área $A = L x L y$ ).

Então, para partículas com spin $S$ , o número máximo $D$ de partículas por nível de Landau é

D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.

/

\psi ^{*}

Os resultados acima informam apenas uma ideia aproximada dos efeitos de um sistema que é definido dentro de um espaço finito. Falando estritamente, a utilização da solução padrão do oscilador harmônico é apenas válida para sistemas sem limitações na direção - $x$ . Se o tamanho $L x$ é finito, as condições de fronteiras nesta direção dão origem as condições de quantização não-padrão sobre o campo magnético, envolvendo (a princípio) ambas as soluções da equação de Hermite. O enchimento destes níveis com muitos elétrons ainda é ^[3] uma área de pesquisa muito ativa. Em geral, os níveis de Landau são observados em sistemas eletrônicos, onde $Z$ =1 and $S$ =1/2. Enquanto o campo magnético aumenta, mais e mais elétrons preenchem cada nível de Landau. A ocupação do nível de Landau mais energético varia de completamente preenchido a completamente vazio, resultando em oscilações da suscetibilidade magnética em função da intensidade do campo magnético (ver efeito de Haas–van Alphen e Shubnikov–de Haas effect).

Se o efeito Zeeman é considerado, cada nível de Landau é dividido em um par, um para o spin up do elétron e outro para spin down do elétron. Então a ocupação de cada spin no nível de Landau é apenas a razão entre os fluxos $D$ = $F/F 0$ . O efeito Zeeman tem efeito significativo nos níveis de Landau já que suas escalas de energia são as mesmas, $2 μ B B = ħω$ . Entretanto, a energia de Fermi e a energia do estado fundamental se mantém mais ou menos da mesma forma do que em um sistema com muitos níveis cheios, uma vez que os pares divididos dos níveis de energia cancelam um ao outro quando somados.

Discussão[editar | editar código-fonte]

Esta derivação trata $x$ e y como sendo ligeiramente assimétricos. Entretanto, pela simetria do sistema, não existe nenhuma quantidade física que distingue essas coordenadas. O mesmo resultado poderia ser obtido com a apropriada mudança entre $x$ e $y$ .

Além disso, a derivação acima assume que um elétron está confinado na direção- $z$ o que é irrelevante em uma situação experimental - por exemplo na descrição de gases de elétrons em um espaço bidimensional. Ainda assim, esta hipótese não é essencial para os resultados. Se os elétrons são livres para se moverem ao longo da direção- $z$ , a função de onda adquire um termo multiplicativo exp( $ik z z$ ); a energia que corresponde a este movimento livre, $(h k z) 2 /(2m)$ , é adicionado ao $E$ discutido anteriormente. Este termo então preenche a separação de energia dos diferentes níveis de Landau, obscurecendo o efeito da quantização. No entanto, o movimento no plano- $x$ $y$ , perpendicular ao campo magnético, ainda é quantizada.

Níveis de Landau no calibre simétrico[editar | editar código-fonte]

O calibre simétrico se refere a seguinte escolha : ${\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}$

/

\psi ^{*}

Em termos das dimensões de comprimento e energia, o hamiltoniano pode ser escrita como

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]

/

\psi ^{*}

As unidades corretas podem ser recuperadas introduzindo os fatores $q,c,\hbar ,\mathbf {B}$ and $�$

Considere os seguintes operadores

{\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/

\psi ^{*}

{\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/

\psi ^{*}

{\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/

\psi ^{*}

{\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/

\psi ^{*}

Estes operadores obedecem as seguintes relações de comutação

[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1

/

\psi ^{*}

Em termos dos operadores descritos acima, o hamiltoniano passa a ser escrito como

{\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}

/

\psi ^{*}

O índice do nível de Landau $�$ é o autovalor do operador ${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$

A componente z do momento angular é

{\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})

/

\psi ^{*}

Explorando a propriedade $[{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0$ escolhemos as autofunções que diagonalizam ${\hat {H}}$ e ${\hat {L}}_{z}$ . Os autovalores de ${\hat {L}}_{z}$ são denotados por $-m\hbar$ , onde é claro que $m\geq -n$ no $�$ -nível de Landau. Entretanto, pode ser arbitrariamente grande, tornando necessário para obter uma degenerescência infinita (ou uma degenerescência finita por unidade de área) exibida pelo sistema. A aplicação de ${\hat {b}}^{\dagger }$ aumenta o valor de $�$ por uma unidade enquanto preserva o valor de $�$ , enquanto que a aplicação de simultânea de ${\hat {a}}^{\dagger }$ aumenta o valor de $�$ e diminui o valor de $�$ por uma unidade. A analogia ao oscilador harmônico quântico fornece as seguintes soluções

{\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle

/

\psi ^{*}

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)

/

\psi ^{*}

|n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle

/

\psi ^{*}

Cada nível de Landau tem uma degenerescência em cada orbital que é rotulado pelo número quântico $k y$ e $�$ nos calibres de Landau e simétrico respectivamente. A degenerescência por unidade de área é a mesma em cada nível de Landau. Pode-se verificar que os estados acima correspondem a escolha de funções de onda proporcionais à

\psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}

/

\psi ^{*}

onde $w=x+iy$ .

Em particular, o menor nível de Landau $n=0$ consiste de funções analíticas arbitrárias multiplicadas por uma Gaussiana, $\psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}$ .

/

\psi ^{*}

Efeitos da transformação de calibre[editar | editar código-fonte]

{\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})

/

\psi ^{*}

A definição cinemática do momento é

{\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c

/

\psi ^{*}

onde ${\hat {\mathbf {p} }}$ é o momento canônico. O hamiltoniano é invariante sob o calibre então $\langle {\hat {\pi }}\rangle$ e $\langle {\hat {x}}\rangle$ se mantém invariantes sob a transformação de calibre, mas $\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle$ dependerá do calibre. Para observar o efeito da transformação de calibre no estado quântico da partícula, considere o estado com A e A' como um potencial vetor, com estados $|\alpha \rangle$ e $|\alpha '\rangle$ .

Como $\langle {\hat {x}}\rangle$ e $\langle {\hat {\pi }}\rangle$ são invariantes sob a transformação de calibre temos que

\langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle

/

\psi ^{*}

\langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle

/

\psi ^{*}

\langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle

/

\psi ^{*}

Considere um operador ${\mathcal {G}}$ tal que $|\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle$

a partir das relações acima deduzimos que

{\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}

{\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}

/

\psi ^{*}

{\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1

a partir disso concluímos que

{\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)

/

\psi ^{*}

\sigma

Diamagnetismo é o termo utilizado para designar o comportamento de materiais que são repelidos na presença de campos magnéticos, ao contrário dos materiais paramagnéticos e ferromagnéticos que são atraídos por campos magnéticos.

O diamagnetismo é um efeito quântico que existe em todos os materiais, mas é tão fraco que normalmente não pode ser observado quando o material possui uma das outras duas propriedades: ferromagnetismo ou paramagnetismo.^[1] Ou seja, o diamagnetismo corresponde ao tipo mais fraco de resposta magnética de um sistema.^[2]

Nos materiais diamagnéticos, os dipolos elementares não são permanentes, sendo que esses materiais não são afetados com a mudança de temperatura e o valor da sua susceptibilidade magnética é tipicamente próximo de milionésimo (10⁻⁶) e sempre negativo, devido a Lei de Lenz que afirma que um circuito submetido a um campo magnético externo variável, cria um campo contrário opondo-se a variação deste campo externo.^[2] Devido ao valor da susceptibilidade magnética ser negativo, o material sofre uma repulsão, entretanto o efeito é muito fraco, isto é, somente é percebido em campos magnéticos intensos, algumas ordens de grandeza maior do que o campo magnético terrestre.

Todo material diamagnético submetido a um campo magnético externo apresenta um momento dipolar magnético líquido orientado no sentido oposto ao do campo magnético externo. Se o campo magnético externo é não-uniforme, o material diamagnético é repelido da região onde o campo magnético é mais intenso para a região onde o campo magnético é menos intenso.^[1]

História[editar | editar código-fonte]

Foi primeiramente observado por Sebald Justinus Brugmans em 1778, ao observar que o bismuto e o antimônio eram repelidos por campos magnéticos. O diamagnetismo foi nominado e estudado por Michael Faraday, em 1845 que, através de seus estudos, concluiu que o diamagnetismo era uma propriedade da matéria, e que todo material respondia de uma forma diamagnética ou de uma forma paramagnética a um campo magnético aplicado a ele.^[3]

Materiais[editar | editar código-fonte]

Materiais diamagnéticos como a água, ou materiais que tenham a água como base, tem uma permeabilidade magnética relativa menor ou igual a 1, consequentemente sua susceptibilidade magnética é menor ou igual a zero, já que a susceptibilidade é definida por χ_v = μ_v − 1. Isso indica que materiais diamagnéticos são repelidos por campos magnéticos. Contudo, como o diamagnetismo é uma propriedade fraca, seus efeitos não podem ser observados no dia a dia. Por exemplo, a susceptibilidade magnética de diamagnéticos como a água é da ordem de χ_v = −9,05×10⁻⁶. O material diamagnético mais forte é o bismuto, χ_v = −1,66×10⁻⁴, mesmo que o grafite pirolítico possa ter susceptibilidade de χ_v = −4,00×10⁻⁴ em um dos planos. Mesmo assim, estes valores são de ordem de magnitude muito inferior ao magnetismo que possuem os materiais paramagnéticos e ferromagnéticos.

Todos os condutores mostram um diamagnetismo mais efetivo quando interagem com um campo magnético que varia no tempo. A força de Lorentz que age nos elétrons faz com que eles se movimentem formando correntes parasitas, que por sua vez produzem um campo magnético induzido no sentido oposto ao campo aplicado.

Supercondutividade[editar | editar código-fonte]

Transição da condutividade normal (esquerda) para a supercondutividade (direita). Durante a transição, o condutor repele o campo magnético e age como um diamagnético perfeito.

Supercondutores são materiais que perdem a resistência à corrente elétrica quando estão abaixo de uma determinada temperatura. O supercondutor é um diamagnético perfeito (χ_v = −1). pois ele repele todos os campos magnéticos (exceto em superfícies muito finas) devido ao Efeito Meissner. Esse efeito, que talvez seja a característica mais famosa dos supercondutores, é a causa da levitação magnética de um ímã, por exemplo, quando é colocado sobre um pedaço de supercondutor. A explicação para o fenômeno está na repulsão total dos campos magnéticos externos pelos supercondutores, o que faz com que o campo magnético interno seja nulo, desde que o campo externo aplicado não seja muito intenso.^[4]

Principais materiais diamagnéticos^[5] (O valor da susceptibilidade χ_v é adimensional)
Material	χ_v [x 10⁻⁵]
Supercondutor	-10⁵
Grafite Pirolítico	-40,9
Bismuto	-16,6
Mercúrio	-2,9
Prata	-2,6
Diamante	-2,1
Chumbo	-1,8
Grafite	-1,6
Cobre	-1,0
Água	-0,91

/

\psi ^{*}

Teoria[editar | editar código-fonte]

Em um material, normalmente os elétrons se dispõe em órbitas, sem nenhuma resistência entre elas agindo como um loop de corrente. Deste modo, poderia se dizer que em geral os efeitos do diamagnetismo seriam comuns, visto que qualquer campo magnético aplicado gerariam corrente nesses loops em oposição à carga, de um modo similar aos supercondutores, que essencialmente são diamagnéticos perfeitos. Entretanto, como os elétrons são mantidos presos às órbitas pela carga dos prótons e ainda mais pelo Princípio de Exclusão de Pauli, muitos materiais exibem o diamagnetismo mas respondem muito pouco aos campos magnéticos aplicados.

O Teorema de Bohr-Van Leewen^[6]^[7] prova que não pode haver paramagnetismo ou diamagnetismo em um sistema puramente clássico, Porém, a teoria clássica de Paul Langevin para o diamagnetismo nos dá a mesma previsão que a teoria quântica. A teoria clássica é dada abaixo:

Diamagnetismo de Langevin[editar | editar código-fonte]

A teoria do diamagnetismo de Langevin^[8] se aplica a materiais que contém átomos O número de revoluções por unidade de tempo é com "cascas fechadas" (ver dielétrico). Um campo magnético com intensidade B, aplicado a um elétron com carga e e massa m, dá início à precessão de Larmor com uma frequência ω = eB / 2m. O número de revoluções por unidade de tempo é ω / 2π. Então a corrente elétrica para um átomo com Z elétrons é (em unidades do SI):

$I=-{Ze^{2}B \over 4\pi m}$ .

/

\psi ^{*}

O momento magnético de um loop de corrente é igual a corrente vezes a área do loop. Suponha que o campo é alinhado com o eixo z, a área média do loop pode ser dada por π(ρ²) , onde (ρ²) é a raíz quadrada da distância dos elétrons perpendiculares ao eixo z. O momento magnético é, portante:

$\mu =-{Ze^{2}B \over 4m}(\rho ^{2})$ .

/

\psi ^{*}

Se a distribuição da carga é esfericamente simétrica, podemos supor que a distribuição das coordenadas x, y, z são independentes e igualmente distribuídas. Então $\langle x^{2}\rangle =\langle y^{2}\rangle =\langle z^{2}\rangle ={1 \over 3}\langle r^{2}\rangle$ .

$\mathrm {X} ={\mu _{0}n\mu \over B}=-{\mu _{0}e^{2}Zn \over 6m}\langle r^{2}\rangle$

/

\psi ^{*}

Onde. $\langle r^{2}\rangle$ é a raiz quadrada da distância dos elétrons até o núcleo, portanto $\langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle ={2 \over 3}\langle r^{2}\rangle$ .

/

\psi ^{*}

Se n é o número de átomos por unidade de volume, a susceptibilidade magnética do volume é, em unidades do SI:

Pesquisar este blog